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By Herbert Süße, Erik Rodner

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Für die Faltung gibt es dieses Element tatsächlich, es ist der Einheitsimpuls δ, für die Korrelation ist dies nicht der Fall. So gilt bei der Korrelation δ ○ f = δ ∗ f R = f R . Für die Faltung gilt stets f ∗ δ = δ ∗ f = f . Wie sieht dieser Einheitsimpuls, diese Funktion nun aus? Für den diskreten Fall ist dies einfach δ  = , δ i =  ∀i ≠ . Mit dem Verschiebungsoperator S m können wir nun die „Eins“ des Einheitsimpulses an eine beliebige Stelle m platzieren e (m) ∶= S m δ. Wenn wir diskrete Funktionen mit N Stützstellen betrachten, so sind diese „Einheitsfunktionen“ trivialerweise Basisfunktionen aller diskreten Funktionen, diese sind vergleichbar mit den „Einheitsbasisvektoren“ im N-dimensionalen Vektorraum.

H. es ist sehr wahrscheinlich, dass diese Gleichung überhaupt keine Lösung hat. Dann wollen wir sie eben im Sinne der kleinsten Quadrate lösen, d. h. wir suchen ein f , sodass ∥h ∗ f − g∥ → Minimum gilt. Offensichtlich ist ∥C h ⋅ f − g∥ → Minimum die Formulierung mit der Zirkularmatrix C h . Wir haben also ein lineares Gleichungssystem im Sinne der kleinsten Quadrate zu lösen. 32) bzw. 16): A ⋅ x = b ↔ AT ⋅ A ⋅ x = AT ⋅ b. 52) Wir brauchen also nur mit der transponierten Koeffizientenmatrix AT die linke und rechte Seite zu multiplizieren.

6) B und der anschließenden Abtastung dieser Funktion h(t) an den diskreten Stellen t k auf. Die Operation Faltung besitzt alle „schönen“ algebraischen Eigenschaften, sie ist linear, kommutativ, assoziativ, distributiv und vieles mehr. Wir wollen einmal als einfache Übung die Kommutativität zeigen: ( f ∗ g)n = ∑ f i g n−i = ∑ f n−l g l = ∑ g l f n−l = (g ∗ f )n . 1 Faltung und Korrelation 29 Die anderen Eigenschaften lassen sich ebenso einfach zeigen. Eine 2D-Faltung kann manchmal auf die Anwendung von zwei 1D-Faltungen zurückgeführt werden, dann lässt sich die 2D-Faltung effektiv implementieren, siehe Abschn.

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