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By Dr.phil. Dr.h.c. Dr.E.h. Lothar Collatz, Dr.rer.nat. Werner Krabs (auth.)

In neuerer Zeit sind so viele Lehrbücher über Approximationstheorie erschienen, daß guy nach der Berechtigung eines weiteren Buches fragen magazine. Die Motivie­ rung ergab sich aus der Tatsache, daß sowohl in der Zeitschriftenliteratur über Approximationstheorie als auch in den meisten Lehrbüchern relativ wenig auf die Anwendungen eingegangen wird. Es scheint in der heutigen Zeit eine gewisse Diskrepanz zu bestehen zwischen manchen viel von Mathematikern bearbeiteten Gebieten und den Gebieten, deren mathematische Untersuchung von seiten der Anwendungen aus dringend erwünscht wäre. Die in physikalischen und technischen Fragestellungen auftretenden Approximationsprobleme sind, im Zug der citadel­ schreitenden Entwicklung, so vielseitig und oft andersartig als in der bisher ge­ wöhnlich betrachteten Theorie und dabei zugleich häufig mathematisch sehr interessant und tiefliegend, so daß sich hier ein außerordentlich reiches Betäti­ gungsfeld für die mathematische Forschung ergibt. Sehr oft sind wir von Studen­ ten, Diplomanden, Doktoranden nach Themen aus der Approximationstheorie gefragt worden, die zugleich praktische Bedeutung haben, und da hierüber viel­ fach nicht genügend bekannt zu sein scheint, versucht dieses Büchlein, die Lücke zwischen Theorie und Anwendungen ein wenig aufzufüllen. Da bei den Anwen­ dungen von den verschiedenen Approximationsarten die Tschebyscheffsche Approximation, kurz T. A. , die anderen Typen an Bedeutung weit zu übertreffen scheint, befaßt sich das Buch vorwiegend mit der T. A. , und zwar sowohl mit der Theorie als auch mit den Anwendungen. Der Brücke zwischen bei den dienen auch verschiedene Übungsaufgaben am Schluß des Buches.

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Das vorliegende Buch entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer-Institut fur Produktionstechnik und Automatisierung (IPA), Stuttgart. Herrn Professor Dr. -Ing. H. -J. Warnecke danke ich fur seine wohlwollende Unterstutzung und F6rderung meiner Arbeit. Mein Dank gilt in gleicher Weise Herrn Professor Dr.

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B. in Collatz [64]): Satz (J. Schröder [56]). 15) seien Tl' T 2 vol/stetige, auf einer konvexen Teilmenge D des Raumes R gegebene Operatoren; ferner sei Tl synton, T 2 antiton. Bei der Iterationsvorschrift { vn + l _= Tlv n Wn+1 - TIwn + T2 Wn + T 2 vn mögen die Startelemente vo, Anfangsbedingungen Wo E } n = 0, 1,2, ... 17) erfüllen. 15) mindestens eine Lösung u mit VI < u < WI' Es gilt dann auch Vn < u < Wn für jedes n = 0, 1,2, ... ; zur Erzielung einer guten Fehlerabschätzung wird man versuchen, die Differenz WI - VI möglichst klein 9.

Setzt man D l = {Xto X3' ••. } und D 2 = {X2' X4' ... }' so ist D = D l U D 2 eine H-Menge; denn gäbe es ein Paar w, we W mit w(Xt) - w(Xt) <0 für i = 1,3, ... , w(Xt) - w(Xt) > für i = 2,4, ... , ° so hätte w - W auf [IX,P] mindestens r Nullstellen, was nicht möglich ist wegen w - W $0. c. Eine hinreichende Bedingung für Minimallösungen. Sei wieder C(B) der Vektorraum der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen auf Bund Deine nichtleere abgeschlossene Teilmenge von B. Dann ist D kompakt (vgl.

1. 2 ,1), so folgt für alle Ilw.. -fll < Ilw-fll w. 1. • 60 ß. 4. 3) für alle w EWerfüllt ist. 5. , für al/e k E T(w) = Tangentialkegel in w an W, wobei Ei. 17) gegebene Menge der Extremalpunkte von w -fist. Beweis. Die Menge w beliebig vorgegeben und Ä(w +k) + ÄE T(w) ist sternförmig bezüglich w; denn ist k [0,1], so folgt + (1-Ä) w = w + Äk E w + E T(w) T(w). 3 ergibt. I C. Der differenzierbare reelle Fall. B erwähnt, ist W in vielen Anwendungen das Bild einer Parametermenge A unter einer Abbildung F: A-+ C(B).

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